本站原创【摘 要】本文研究了换位子群的性质,得出了几个关于换位子群的结论.研究了有限群子群指数互素的情形.在此基础上,给出了一种判定有限群可解性的方法,即,若有限群G有三个可解子群H1,H2,H3,且指数G∶H1,G∶H2,G∶H3两两互素,则G是可解的.
【关 键 词 】有限群,可解性,可解子群
An Decision Method of the Solvability of Finite Groups
CUI Xue-qing CHEN Ren-xia
（College of Science, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou Henan 450000, China）
【Abstract】It studies the properties of mutator groups, and gets some conclusions about mutator groups. It studies the case that the indexes of subgroups of finite groups are relatively prime. On the basis, it gives an decision method of the solvability of finite groups, that is, if a finite group G has three solvable subgroups H1,H2,H3, and the indexes G∶H1,G∶H2,G∶H3 are relatively prime, G is solvable.
【Key words】Finite group, Solvability, Solvable subgroups
可解群是一类常见的群,在Galois方程论等方面有重要的应用.判定有限群的可解性是一个常见的问题.以下给出一种方法,把判定有限群G的可解性的问题转化成寻找G的三个指数互素的可解子群的问题.如果能够找到三个子群,指数互素,且可解,那么G是可解的.这样就把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.而阶数较低的群相对容易研究.首先看定义和几个引理.
定义1 设G为任意群. a,b∈G,令[a,b]等于a-1b-1ab,称为元素a,b的换位子.令G′等于〈[a,b]|a,b∈G〉,称为G的换位子群.归纳定义G的n阶换位子群：
G（0）等于G,G（n）等于（G（n-1））′,n≥1.
称群G为可解群,如果存在正整数k使G（k）等于1.
下面的引理1给出了几个关于换位子群的结论.
引理1 （1）设G等于M1×M2,则G′等于M1′×M2′.
（2）设H≤G,g∈G,则（Hg）（n）等于（H（n））g,n≥1.
以上给出了一种判定有限群可解性的方法,把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.
【参考文献】
[1]崔雪晴,何建营.有限特征单群结构[J].科教导刊,2014,11（1）：198-199.
[2]徐明曜.有限群导引上册[M].2版.北京：科学出版社,1999：6-7.
[3]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco：W.H.Freeman and Company,1974：239.
[责任编辑：汤静]
作者简介：崔雪晴（1984―）,女,硕士研究生,助教,研究方向为代数.
陈仁霞（1985―）,女,硕士研究生,助教,研究方向为复杂网络与传播动力学.