本站原创摘 要：对于积分中值定理,在教材中提到的用法大多是去掉积分符号,把复杂的问题简单化,在解决积分不等式、含积分的极限等问题中,往往应用积分中值定理的这些作用,使得问题得到更容易的解决.
关 键 词 ：积分中值定理 应用
一、积分中值定理
定理：若函数f（x）在[a,b]上是连续的.那么至少存在一点 ,使得
成立.
推论：如果 上连续,并且g（x）在[a,b]上不变号,那么至少存在一点 使得 成立.[1]
二、积分中值定理的几个简单应用
积分中值定理在定积分的计算应用中具有重要的作用,下面我们给出几个具体的常见的例子,通过实际应用来加深对积分中值定理的理解.
1.中值定理应用于定积分不等式的证明和积分估计
（1）证明不等式 .
证：由积分中值定理
又因为
可得
.
（2）估计 的积分
解：设 ,那么f（x）在区间[0,1]上连续可导,且有
所以 ,又 ,则 ,
所以
而 ,所以
2.中值定理应用于含有定积分的极限的计算
（3）计算 其中 连续.
解：因为 连续,则由积分中值定理,可以得出
所以
3.积分中值定理在等式证明中的应用
（4）证明：如果f（x）在[a,b]上连续,g是连续可微的单调函数,那么存在 ,有
证：令 ,那么有
由已知g（x）是单调函数,所以g`（x）不变号,根据积分中值定理,存在
,使得
三、结论：
积分中值定理是积分学说中的一个重要结论,在数学学习中起到承前启后作用的重要枢纽.对于定积分的计算,证明等都有着不可忽视的作用,文中所举的例子并不算多,对比现在的研究来说是比较少的,并且在讨论时所给定的条件也相对单一.但是也给出了当今积分中值定理的大概研究方向.