本站原创谈"数形结合"在初中数学中的运用
中学数学研究的对象是现实世界的数量关系(数)和空间形式(形),数是数量关系的体现,而形则是空间形式的体现.华罗庚教授对此有精辟概述:"数无形,少直观,形无数,难入微."
数形结合的思想方法,不象一般数学知识那样,通过几节课的教学就可掌握.它根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点,逐步渗透,不断的丰富自身的内涵.
教学中可以从以下几个方面,让学生在数学学习过程中,通过类比,观察,分析,综合,抽象和概括,形成对数形结合思想的的主动应用.1)利用数轴,坐标系把几何问题代数化(在高中我们还将学到用"向量"把几何问题代数化),(2)利用面积,距离,角度等几何量来解决几何问题,例如:利用勾股定理证明直角,利用三角函数研究角的大小,利用线段比例证明相似等.
例:已知平面直角坐标系中任意两点和之间的距离可以用公式计算.利用这个公式计算原点到直线的距离.
解:设是直线上的任意一点,它到原点的距离是
当时
所以原点到直线的距离为.
说明:建立坐标系,利用坐标及相关公式处理一些几何问题,有时可以避免添加辅助线(这是平面几何的一大难点).在高中"解析几何"里,我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化.
几何图形具有直观易懂的特点,所以在谈到"数形结合"时,更多的老师和学生更偏好于"以形助数",利用几何图形解决代数问题,常常会产生"出奇制胜"的效果,使人愉悦.几何直观运用于代数主要有以下几个方面:
(1)利用几何图形帮助记忆代数公式,例如:
正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式,
将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式,等等.
(2)利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义,通过构造几何图形,依靠直观帮助解决代数问题,或者简化代数运算.比如:
绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离,
数的大小关系就是数轴上点的左右关系,可以用数轴上的线段表示实数的取值范围,
互为相反数在数轴上关于原点对称(更一般地:实数与在数轴上关于对称,换句话说,数轴上实数关于的对称点为),
利用函数图像的特点把握函数的性质:一次函数的斜率(倾斜程度),截距,二次函数的对称轴,开口,判别式,两根之间的距离,等等,
一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与轴的交点,
函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与轴的交点(函数在时有意义),
锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例.
例:已知正实数,求的最小值.
分析:可以把整理为,
即看作是坐标系中一动点到两点(0,2)和(2,1)的距离之和,于是本问题转化为求最短距离问题.
解:,
令,A(0,2)和B(2,1),则.
作B点关于x轴的对称点,则y的最小值为.
数形结合,是"使抽象思维和形象思维相互作用,实现数量关系与图形性质的相互转化,将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题的一种数学思想方法".在实际教学中,不能仅仅把它看成是解题的一种手段,需要把数形结合思想方法的教学落实到确定目标,钻研教材,准备教学方案,实施教学过程,小结等各个环节中,在数学知识的教学过程中合理布点,由浅入深,有计划性,系统性,有序性,层次性,使数形结合思想方法的教学成为一种有意识的教学活动.
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