本站原创题型解读
数学创新试题是指读者没有见过的、问题情景新颖别致的试题,高考就是采用这样的试题来考查解题者的创新意识与实践能力的.解答数学创新问题需要具备数学的素养、数学的视野、开阔的思维、解题的智慧,有时,从特殊情景入手、从反面入手、从简单入手、从非常规的情景思考将会找到解题的突破口.
范例选讲
例1：一个以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度匀加速开走,那么（ ）
A．人可在7米内追上汽车
B．人可在10米内追上汽车
C．人追不上汽车,其间距离最近为5米
D．人追不上汽车,其间距离最近为7米
讲解：本题是一道加速行程问题, 需要运用物理现象建立数学模型,即通过加速运动建立二次函数关系式．
若经t秒人刚好追上汽车,
则S+25等于6t ,由S等于 ,得
考虑距离差d等于(S+25)-6t等于t2-6t+25
等于(t-6)2+7
故当t等于6时,d有最小值7,即人与汽车最少相距7米, 故选D．
点评：本题属于跨学科综合题, 要求将物理问题抽象成数学问题, 利用数学工具, 通过推理和计算解决物理问题,这类题型也是今后数学高考命题的趋势之一．
例2：给出下列一系列化合物的分子式:C6H6、C10H8、C14H10等,则该系列化合物中,分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近 （）．
A. 95% B. 96% C. 97% D. 98%
讲解：观察系列化合物分子式的下标易知：C和H的下标分别是公差为4和2的等差数列.由等差数列的通项公式an等于a1+(n-1)d便可得他的通式为n+2H2n+4,由于这个系列化合物中含碳元素、氢元素的个数递增,且原子量分别是12和1,故分子中碳元素的质量分数满足：
,
故应当选B．
点评：本题主要考查学生应用数学的相关知识,解答化学学科中的有关问题,需要对重要的基础知识之间联系进行深层次感悟和理解．
例3：某娱乐中心有如下摸奖活动：拿8个白球和8个黑球放在一盒中,规定：凡摸奖者,每人每次交费1元,每次从盒中摸出5个球,情况为：摸出5个白球中20元,摸出4个白球1个黑球中2元,摸出3个白球2个黑球中价值为0.5元的纪念品１件,其他无任何奖励．
（1）分别计算20元、2元的概率；
（2）若有1560人次摸奖,不计其他支出,用概率估计该中心收入多少钱?
讲解：
（1）由已知20元的概率P1等于 ；
2元的概率P2等于 ；
0.5元的概率P3等于．
（2）由（1）知体彩中心收费为1560元,付出
1560× ×20+1560× ×2+1560× ×0.5等于1080
收入等于1560－1080等于480元.
故知20元、２元的概率分别为:、
,估计该中心收入480元.
点评：概率问题是高考命题的主干知识,涉及到的问题情景是常考常新的,多数是与生活实际和生产实际相关联的．
例4：已知数列｛an｝的前n项的“均倒数”为 ．
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）设 ,试判断并说明+1-(n∈N)的符号；
（3）设函数f(x)等于-x2+4x- ,是否存在最大的实数λ,当ｘ≤λ时,对于一切自然数n,都有f(x)≤0．
讲解（1）由题意,得关系式
a1+a2+等+an-1+an等于n(2n+1),
从而有a1+a2+等+an-1等于(n-1)(2n-1)．
将两式相减,得an等于4n-1(n≥2),而a1等于3,∴ an等于4n-1(n∈N)．
（2）应用（1）的结论,得
,
于是即 .
（3）由（2）知c1等于1是数列｛｝中的最小项,
∵ｘ≤λ时,对于一切自然数n,都有 f(x)≤0,即-x2+4x≤ 等于,
∴-x2+4x≤c1等于1,即x2-4x+1≥0,解之,得x≥2+,或x≤2-∴取λ等于2-．
点评“均倒数”是指已知数列｛an｝的前n项的算术平均数的倒数．
例5：已知等于（1,x）, 等于(x2+x,-x)解关于x的不等式．
讲解：向量与不等式综合是比较新颖的问题．
故
故原不等式的解集合是：
｛x|x＞1或-2＜x＜0｝．
点评：解答分式不等式可以等价的转化为正式不等式．
例6：如图,在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB等于
DC,DC等于 BC．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：AE⊥平面PDC；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
讲解（1）取PC的中点为F,连接EF,则EF为△PDC的中位线,即EF平行且等于DC．
又∵AB∥CD,∴AB平行且等于EF,
∴AE∥BF,又∵BF平面PBC．
∴四边形AEFB为矩形,
∴AE∥平面PBC．
（2）∵△PBC为正三角形,F为PC的中点,∴BF⊥PC ．
又EF⊥PC,EF∩BF等于F,∴PC⊥平面AEFB,AE⊥PC；
由（1）知AE⊥EF,EF∩PC等于F,
∴AE⊥平面PDC.
（3）延长CB交DA于B′,连接PB′（如下图）,
设BC等于a,∵AB等于DC,
∴BB′等于BP等于a,取B′P的中点为H,连接AH,BH,则BH⊥B′P,
由三垂线定理知,AH⊥B′P,∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.
在Rt△AHB中,AB等于a,AH等于a,
∴sin∠AHB等于,∴∠AHB等于
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为
点评：将四棱锥的图形“倒置”是比较新奇的,是一种非常规的情形．
例7：如图,A村在B地正北km处,C村在B地正东4km处,已知弧形公路PQ上任一点到B、C距离之和为8km,现要在公路旁建造一个交电房M分别向A村、C村送电,但C村有一村办工厂用电需用专用线路,不得与民用混线用电,因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电,要使得所用电线长最短,变电房M应建在A村的什么方位,并求出M到A村的距离．
讲解：建立直角坐标系,这是坐标思想的起步．
∵|MB|+|MC|等于8（8>|BC|等于4）,
∴M在以B、C为焦点,长轴长为8的椭圆上．建立如图所示的直角坐标系,
则B（－2,0）,C（2,0）,A（-2, ）,得椭圆方程为 ．
其离心率为 e等于,右准线为l：x等于8．
作MN⊥l,垂足为N,
则|AM|+2|MC|等于|AM|+|MN|,
可见,当M在AN上时,|AM|+2|MC|最小,此时M的纵坐标为yM等于yA等于 ,
∴M的纵坐标为:
,
故得M在A正东且距A为（2+2）km处．
点评：解析几何的实际应用性问题虽然在高考中不是常见的,但作为训练是必须的．在2004年广东高考数学试题当中,就有一道解析几何应用性的问题,它实质上和课本的问题相类似,你知道吗?
例8：已知函数具有性质:
（1）当n一定,记 求ak的表达式（k等于0,1,2,等,n）,
（2）对证明.
讲解：
（1）因为：
所以 ,
即 因为n为定值,所以数列｛ak-1｝是以a0-1为首项,
为公比的等比数列,可得：
（2）因为
要证,只需证 ,事实上因为 ,
而
所以,原命题成立．
点评：本题将函数、数列、二项式定理、不等式证明综合为一体,其新颖的程度表现在函数的迭代,而却是高等数学里的一个概念．
（作者联通：331141江西省丰城市丰矿第一中学）