本站原创摘 要：波利亚在其名著《数学与猜想――数学中的归纳和类比》中对特殊与一般的关系作了深入的阐述,其中以“起主导作用的特殊情形”给笔者留下的印象最为深刻.
关 键 词：主导；数学
中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2014）03-260-01
波利亚在其名著《数学与猜想――数学中的归纳和类比》中对特殊与一般的关系作了深入的阐述,其中以“起主导作用的特殊情形”给笔者留下的印象最为深刻,且在解题中屡试不爽,现将这一思想介绍给大家,并提供两个实例,与诸位共享.
一、引文――波利亚对“起主导作用的特殊情形”的注释
多边形面积为,其所在平面与另一个平面的交角是,求这多边形在另一平面上正投影的面积.
由于没有指定多边形的形状,但是有无穷的各种各样可能的形状,应该首先讨论哪种形状呢?
有一种形状讨论起来特别方便：底边平行于两个平面的交线的矩形,设这种矩形的底是,高是,其面积为,其投影长度分别是,投影面积是.故若多边形面积是,则投影面积是.
底边平行于的矩形不仅是特别容易处理的特殊情形,而且又是一种有主导作用的特殊情形,主导特例的解包含了一般问题的解.故由此可以推广到直角边平行于的直角三角形（用对角线平分上述矩形）；再推广到一种平行于的三角形（由上述两个直角三角形组成）；最后推广到一般多边形（可以分解为前述许多三角形）,甚至我们还可以推广到曲边形（看作多边形的极限）
二、例证――对“起主导作用的特殊情形”的实践
例1：已知圆,直线过定点.若与圆相交于两点,线段的中点为,又与的交点为,判断是否为定值,若是,则求出定值；若不是,请说明理由.
评析：首先看下面的解法：
直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为.
这一解法可谓中规中矩,但思维含量少,缺乏创意,使这道独具匠心的试题趋于平淡.看下面的分析：
⑴考察起主导作用的特殊情形（如右图）：直线经过圆的圆心,此时的中点与圆心重合,且的直线方程为：.
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以过圆心C的直线作为“起主导作用的特殊情形”,虽浅显自然,但直击本质,抓住了问题的主要矛盾,为思维的进一步展开奠定了基础；接着分别构造两个直角三角形,将一般情形巧妙地化归为特殊情形,凸现出特殊情形的主导地位,而其中结论“”的发现是关键,是一个平淡中见神奇的亮点,也正是本题最精致的地方,真可谓意境深远!
“起主导作用的特殊情形”有时并不能完整得出问题的解答,而仅仅从一个侧面起到制约和导向作用,为思维的顺利展开提供一个方向,成为整个问题的一个依托点.