本站原创摘 要：用EXCEL拟合出污染物粒径随时间变化的曲线,测出其相关系数R.其次,通过观察图形预测其函数关系为一次对数函数： ,调整自变量得出二次对数函数： ,运用相关软件拟合出各个函数关系式中的系数,做模拟函数误差分析和函数拟合相关性,并对数据进行预测.
关 键 词 ：函数拟合；最小二乘估计
中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）24-013-02
随着城市化进程的深入展开,水污染已经阻碍了人类社会可持续发展.水污染根据污染杂质尺寸分为溶解物、胶体颗粒和悬浮物3种,不同的杂质处理的方法不同.选用适合的仪器测量杂质的粒径,对污染物进行分类.给定的数据是利用动态光反射仪器测量水中某污染物粒径随时间的变化值,目的是拟合出误差最小的曲线,进而选择合适的模型和方法进行净化处理.
一、粒径变化的多项式拟合
动态光反射仪是通过测量样品散射光强度起伏的变化来得出样品颗粒大小信息的一种技术.之所以称为“动态”是因为样品中的分子不停地做布朗运动,正是这种运动使散射光产生多普勒频移.用EXCEL画出数据的散点图,如图1：
图1 粒径-时间散点图 图2 多项式拟合粒径随时间变化曲线
模型一：利用EXCEL采用六次多项式进行拟合,得出污染物粒径随时间的变化曲线,如图2：计算相关系数 等于0.9923,R趋近于1,拟合程度较好.
查阅相关资料得知,当粒径 时,为溶解物；当粒径d在 之间时,为胶体；当粒径 时,为悬浮物.
从图1和图2可知,此污染物粒径绝大多数在 之间,粒径d 100nm的时间比较短,近似将此种颗粒视为悬浮物.当粒径d<300nm时,此曲线与散点拟合较好,粒径d>300nm时,误差稍大.
2.粒径变化的对数函数拟合
为了使问题研究的更加透彻、细致.把函数关系式中的自变量 转变为 来研究,做出其散点图,如图3：
图3 粒径-时间对数散点图
结合相应图形,拟合出两个函数：一次对数函数 和二次对数函数 （对称轴不同）.
模型二：求一次对数函数 ,利用最小二乘估计[1]拟合出系数,得 .用S-PLUS画出其函数曲线,如图4：
图4 一次拟合对数曲线 图5 二次拟合对数曲线
观察图形得知拟合程度较好.但是经过自变量的变化后,得出的对数曲线近似于一条直线,很明显与实际的散点图有误差.为减少误差,通过调整自变量对模型进行改进.
模型三（改进的模型）： 求二次对数函数 ,利用最小二乘估计拟合出系数,得 ,用S-PLUS画出其函数曲线,如图5：
通过图4、5与图1进行对比,发现改进后曲线的图形明显有优化作用.为反应其优化效果,用SAS[2]做模拟函数误差分析和函数拟合相关性,如表1至表6：
表1 一次模拟函数误差取样 表3 二次模拟函数误差取样
真实值 预测值 误差 真实值 预测值 误差
50.72 -100.1332 150.8532 50.72 47.599 3.121
67.96 -41.089 109.049 67.96 52.8644 15.0956
73.13 -6.5504 79.6804 73.13 60.8262 12.3038
82.6 17.9552 64.6448 82.6 68.6605 13.9395
83.6 36.9632 46.6368 83.6 75.9865 7.6135
89.09 52.4938 36.5962 89.09 82.7824 6.3076
93.16 65.6248 27.5352 93.16 89.0966 4.0634
101.1 76.9994 24.1006 101.1 94.9873 6.1127
106.3 87.0325 19.2675 106.3 100.5076 5.7924
104.6 96.0074 8.5926 104.6 105.7034 -1.1034
108.6 104.1262 4.4738 108.6 110.6132 -2.0132
115.1 111.538 3.562 115.1 115.2693 -0.1693
112 118.3563 -6.3563 112 119.699 -7.699
122.1 124.669 -2.569 122.1 123.9255 -1.8255
132 130.546 1.454 132 127.9685 4.0315
132.9 136.0436 -3.1436 132.9 131.8449 1.0551
131.9 141.2078 -9.3078 131.9 135.5693 -3.6693
128.7 146.0767 -17.3767 128.7 139.1546 -10.4546
142.8 150.6823 -7.8823 142.8 142.6119 0.1881
142.6 155.0516 -12.4516 142.6 145.9511 -3.3511
表2 一次函数拟合相关性 表4 二次函数拟合相关性
系数 拟合值 相关性 系数 拟合值 相关性
a 85.18 0.0001 a 10.96 <0.0001
b -100.13 0.0001 b 47.59 <0.0001 通过上述表2、4,改进的二次对数函数模型的效果明显优于一次对数函数模型.
三、粒径的预测及结论
并且还可以在一定程度上对数据进行预测,我们给出了连续20个时间间隔的二次函数模型的粒径预测值,如表5：
表5 二次对数函数模型的预测值
time 302 303 304 305 306
size 404.9662 405.3801 405.7929 406.2045 406.6150
time 307 308 309 310 311
size 407.0244 407.4328 407.8400 408.2461 408.6512
time 312 313 314 315 316
size 409.0552 409.4581 409.8600 410.2608 410.6605
time 317 318 319 320 321
size 411.0592 411.4569 411.8535 412.2491 412.6437
由数据可以观察到,20个二次对数函数模型的粒径预测值与已知用动态光反射仪器测量的数据的变化规律符合度非常高,进一步说明了二次对数函数拟合的优越性.
故综上得出结论：二次对数函数模型拟合程度最好,其对称轴大致分布在Y轴上.